Lo abstracto de las matemáticas.

LO ABSTRACTO, LO EMPIRICO Y LO APLICADO

 

La idea de la matemática separada del mundo empírico ha penetrado tanto en la conciencia de Occidente que el término "aplicación" encierra un gigantesco equívoco teórico. Da la impresión de que se hacen matemáticas más o menos en el vacío y que, luego, por la vía del ajuste que materializa la armonía preestablecida, estos resultados se usan para explicar o incidir en la realidad práctica. Sin pretender subvalorar el papel de las abstracciones "puras" (separadas de un objeto de aplicación) debemos señalar que el desarrollo matemático funciona de una manera muy compleja y variada. Mucho de la matemática hasta nuestros días se ha desarrollado a partir de las situaciones prácticas en las técnicas, en las ciencias particulares, en la cultura, etc.. Las nociones y métodos centrales de la matemáticas han estado ligadas al devenir material y social desde las primeras etapas de la historia humana. Esto lo queremos explicar mejor.

 

Para nosotros: lo que existen son "situaciones matemáticas", conjunción de condiciones que engendran la construcción matemática. En éstas aparecen diversos factores e influencias: las técnicas y las ciencias normalmente llamadas físicas, la cultura, el estado del conocimiento, las necesidades lógicas y teóricas de los campos de la matemática en consideración, y también las condiciones mentales del individuo que hace matemáticas. En esto el azar interviene de una manera muy especial. Siempre la forma en que se estructuran estas influencias es un hecho concreto. Si el resultado matemático debe verse siempre como una función de varias variables evaluada en un momento preciso, ¿dónde queda la dicotomía "abstracto-empírico" y "matemática pura versus aplicadas"? En el fondo, tal vez lo mejor sea decir que no existe la separación en compartimentos estancos de la matemática "pura" y la "aplicada". En este sentido, es preferible ver a las matemáticas como un proceso único en el que ha estado siempre presente una combinación permanente de lo más abstracto con lo más ligado al mundo empírico. A veces lo predominante es una cosa, a veces la otra. Nos repetimos: el análisis debe ser siempre concreto, es decir: específico, social e histórico.

 

La conciencia sobre lo anterior ha estado condicionada por visiones racionalistas sobre la matemáticas. Lo típico ha sido, por ejemplo al mirar el antiguo mundo, solamente ver lo abstracto, lo axiomático, lo deductivo, lo racional, lo "puro". Como diría Bachelard: el presente ilumina el pasado; pero muchas veces se usa antojadizamente la interpretación histórica, aquella que más sirva a los modelos conceptuales del presente. Por eso pensamos que no se ha apreciado suficientemente que aunque Euclides o Arquímedes formularon sus resultados axiomática y deductivamente, estaban comprometidos en una relación íntima con el mundo material, al que querían explicar. La búsqueda de fundamento en geometría euclídea no era el deseo de una voluntad deductiva "pura" sino la búsqueda por asegurar la verdad, una descripción correcta de la realidad. Es imprescindible buscar un equilibrio en la interpretación histórica.

 

En los trabajos matemáticos de la Antigüedad al igual que de todas las épocas lo abstracto y lo empírico (lo "aplicado"), se sumaron combinados en una indagación del mundo. ¿Qué son por ejemplo los términos primitivos de la geometría, el plano, la recta y el punto, sino abstracciones útiles para manejar el entorno? En la mayoría de textos elementales de geometría se pierde la perspectiva: se declaran como primitivos, por definición, abstractos. Pensemos en un cuerpo sólido, un tronco, una esfera. Cortar de un golpe un sólido ofrece un plano, y a este otro golpe de cuchillo y tenemos una recta y si seguimos un tercer golpe nos da un punto . Del mundo tridimensional que constituye nuestro entorno inmediato sacamos los conceptos básicos de la geometría clásica. Si añadimos la dimensión dada por el tiempo encontramos los métodos infinitos, el tratamiento de la continuidad, propia del análisis. Podemos enfatizar los axiomas de Euclides y el rigor de la deducción dentro del edificio conceptual, esto es importante, pero también resulta importante lo otro: nunca olvidar las dimensiones prácticas, el contacto con el mundo, y el carácter humano e histórico de la construcción matemática. Un buen ejemplo son los métodos de exhausción de Eudoxo y Arquímedes, que apuntaban al cálculo de áreas; se trataba de la aproximación del área del círculo por polígonos regulares. No olvidemos cómo Arquímedes, y a manera de un signo de ese manejo de entorno, obtuvo la famosa relación de 3/2 entre los volúmenes o áreas superficiales de un cilindro circular recto y de una esfera inscrita: epitafio de su tumba, según Plutarco al contar la vida del general romano Marcelo. Y el peso relativo de los materiales, que refiere a aquella anécdota de un Arquímedes en la Siracusa de Herón, en una tina de baño y luego desnudo en carrera gritando por las calles "eureka". El formidable palimpsesto descubierto en 1906: Sobre el método, con heurística y múltiples "escaleras" empíricas, ¿acaso no nos muestra la forma de hacer matemáticas de Arquímedes? Arquímedes, padre de la física y las matemáticas más elaboradas de la Antigüedad, ¿por casualidad?

 

Y en la historia más reciente, en el Cálculo Diferencial e Integral: ¿podemos olvidar que Newton consideraba sus derivadas (sus fluxiones) como simples velocidades? ¿Cómo separar sus matemáticas de su mecánica, y no recordar ese monumento al pensamiento moderno publicado en 1687: Philosophiae naturalis principia mathematica? Fue Newton el padre de la física de la modernidad, de nuestra época (tanto que Voltaire lo tradujo al francés en la antesala de la Revolución Francesa ).

 

En el siglo XVIII, Euler, el más prolífico de los matemáticos -con Cauchy- usaba la mecánica analítica, calculaba la perturbación de los cuerpos celestes en la órbita de un planeta y las trayectorias de proyectiles en medios con resistencia específica. ¿No fue Euler el mismo que estudió la propagación del sonido y la consonancia y disonancia musicales? Y fue también, lo que no se recuerda normalmente, el primer científico del XVIII que afirmó el carácter ondulatorio de la luz; además, por si faltara, estudió el movimiento de los fluidos (con ecuaciones diferenciales) y hasta lo aplicó a la circulación de la sangre. Matemáticas y mundo, de nuevo.

 

El gran Gauss, mientras fundaba la teoría abstracta de números y hacía progresar el cálculo y la geometría diferenciales, no cejaba en sus quehaceres en la astronomía (recuérdese su trabajo para determinar la trayectoria de Ceres) y la mecánica; precisamente, síntesis de geodesia y cartografía: Disquisitiones generales circa Superficies Curvas (1827). La vinculación con el mundo, la inspiración para su indagación y manipulación, siempre han sido parte del quehacer matemático. Y esto debe ponerse en relieve a la hora de interpretar su naturaleza.

 

De la misma manera, y para no dar pie a mal entendidos: las motivaciones por la abstracción y la generalización son también parte de la esencia de estas ciencias. Un magnífico ejemplo: Leibniz no usó velocidades para descubrir sus derivadas, su fundamento era lógico y algebraico. Es difícil pensar que Cantor asociara sus transfinitos al mundo. Los cuaterniones de Hamilton no eran inducciones del mundo.

 

¿Y las geometrías no euclídeas? Aquí tenemos un ejemplo de esa combinación extraordinaria de los influjos más abstractos y su vínculo con el mundo. Ruptura con la afirmación euclidiana de la realidad, demoledora de filosofías sobre las matemáticas (Kant), y señal de lo abstracto y puro, pero también respuesta a una forma matemática distinta de interpretar el mundo. Lo abstracto y lo empírico. El mismo Gauss consideraba que su geometría no euclidiana poseía un sentido físico. Hay modelos de las geometrías hiperbólicas que las vinculan a la euclídea: Beltrami-Klein, Poincaré. Y la geometría esférica ¿no es acaso la mejor "representación" de la geometría de Riemann? ¿Qué más real que hacer geometría en la esfera con geodésicas, meridianos, y combinación de propiedades naturales de un "mundo cuasiesférico achatado en los polos"? Y si nos vamos al espacio estelar, ya en la Relatividad de Einstein, geometrías hiperbólicas tan abstractas y "raras" son las que nos sirven para explicar el comportamiento de los rayos de luz cuando éstos se curvan por la influencia de los astros celestes.

 

En la construcción matemática siempre encontramos esa misteriosa combinación de lo "puro" y lo "aplicado", de lo abstracto y lo empírico. Es aquí donde se entiende bien lo que dice Von Neumann: "El hecho más vitalmente característico de la matemáticas está, en mi opinión, en su completamente peculiar relación con la ciencias naturales". [44] No se puede entender y usar la naturaleza de las matemáticas apropiadamente sin subrayar esta extraordinaria situación, cuya influencia penetra en el resto de las ciencias. Y, por supuesto, esto posee consecuencias importantes para la educación matemática y la práctica matemática en general.

 

La historia de las construcciones matemáticas, de sus impulsos, sus motivaciones diversas, y de su aplicación, [45] es precisamente la única historia de las matemáticas, la de carne y hueso: en la comprensión de su naturaleza, porque tantas veces se olvida, deseamos subrayar su sentido histórico, concreto, su relación con el mundo. [46]

 

En las anteriores secciones hemos esbozado una visión intelectual que expresa varios elementos:

 

•  Las matemáticas deben verse como una ciencia natural pero con características específicas que obligan a reinterpretar lo que son las ciencias. Los intentos por reducir las matemáticas a colecciones sintácticas y vaciarlas de contenido empírico nos parecen infructuosos. También nos parecen equivocados los intentos que pretenden establecer un carácter trivialmente empírico para ellas. No estamos seguros de si el vocablo cuasiempírico es el más adecuado para las matemáticas: casi empíricas pero sin llegar a serlo. Sí nos parece que el vocablo ofrece un significado más vinculante al mundo, lo que sí nos resulta apropiado. Entender el concepto de ciencia natural de manera que de cabida a las matemáticas apuntala, de alguna manera, la idea de la diversidad en las ciencias. Muchas veces se han juzgado las diferentes disciplinas científicas a partir de un modelo abstracto, un rasero único (normalmente el que se atribuye a la física), cuando lo apropiado es entender y explicar las diferencias.

 

•  Su condición de ciencia natural plantea una relación estrecha de las matemáticas y el mundo material y social. Epistemológicamente: se trata de entender una relación mutuamente condicionante entre el objeto y el sujeto. Es decir una interacción de influjos recíprocos y cambiantes. De igual manera, se plantea una relación entre las matemáticas y las otras ciencias: una íntima vinculación teórica e histórica del conocimiento científico; lo que las hace un instrumento imprescindible para el progreso de éstas.

 

•  La naturaleza de las matemáticas, sus objetos y métodos, dejan un lugar muy amplio a la abstracción y la deducción lógica. Sus mecanismos de validación teórica obedecen a estas condiciones. No se puede negar el mayor carácter abstracto y general de las matemáticas y, por lo tanto, se debe asumir las consecuencias de esta realidad en la práctica de las matemáticas y su enseñanza-aprendizaje. Se establece una decisiva relación entre matemáticas y abstracción: se trata de comprender el papel especial que juegan sus dimensiones abstractas. Hemos afirmado, sin embargo, un juego combinado y diverso de lo abstracto y lo no abstracto en el devenir de las matemáticas.

 

•  Una gran fuerza explicativa posee para nosotros la comprensión de las matemáticas en términos históricos: tanto por sus objetos como sus métodos, por sus criterios de validación, las matemáticas solo pueden ser estudiadas como construcciones sociales colocadas en contextos históricos precisos. Son comunidades humanas, con sus vicios y virtudes, las que generan el conocimiento matemático. No olvidar esta dimensión es esencial para la práctica matemática pero para la educación matemática es más que eso: es determinante . Las matemáticas si bien deben verse con base en su especificidad no por ello deben alejarse de la cultura general. Una actitud adecuada en este terreno permitiría comprender las matemáticas de una manera más amplia y enriquecedora.

 

Hemos incursionado en los asuntos más generales sobre las matemáticas: su naturaleza última. Decidirse a adoptar una posición unívoca definitiva sobre esto no es fácil. Y no es lo que queremos provocar aquí. Hemos tratado más bien de apenas indicar varias de las más importantes dimensiones de este quehacer intelectual cuya comprensión, sin embargo, posee serias implicaciones sobre sí mismo; en especial con relación a la educación matemática, que hemos colocado de manera relevante en este trabajo. Reflexionar en torno a la pregunta ¿qué son las matemáticas? nos dio una perspectiva general de la disciplina. Sin embargo, si nos interesa su enseñanza-aprendizaje debemos añadir otras preguntas más precisas: ¿cómo se aprenden las matemáticas?, ¿recibe el estudiante las matemáticas directamente de su entorno?, ¿serán las condiciones socioculturales las que deciden su aprendizaje?, ¿cuál es el papel de su experiencia individual?, o acaso: ¿descubre el alumno conocimiento que ya está en su mente por razones biológicas o espirituales?, ¿será la experiencia individual una simple escalera para redescubrimientos cognoscitivos de su interior y, por lo tanto, ésta resulta superflua? Las respuestas a estas preguntas definen asuntos tan específicos como el papel en el aprendizaje de la clase, la función del maestro, la actitud de los estudiantes, el valor de los textos y los materiales didácticos, en fin: los ejes de la experiencia educativa.

 

En lo que sigue debe asumirse explícitamente algo que a veces se ha olvidado: el ¿cómo se aprende? es el fundamento del ¿cómo se enseña? Por más importancia que se atribuya a las acciones de enseñanza, en la base es necesario colocar el aprendizaje. Esto representa un punto de partida y una óptica decisiva para la educación matemática: el estudiante como el objeto y referencia fundamentales. Este es, entonces, el momento de continuar con nuestra discusión de las tendencias modernas en la educación matemática y señalar una dirección capaz de fecundar el progreso de las matemáticas en el país.